有限元方法 (2023 Fall)

课程信息

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• 授课老师: 徐岩 (yxu@ustc.edu.cn)
• 参考教材:
  • Brenner/Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed
  • Johnson: Numerical solution of partial differential equations by finite element method

主要内容

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(1) 一维Possion方程的有限元分析: 有限元分析的一整套流程在这里都体现了, 包括弱形式, 有限元空间选取, 基函数计算, 刚度矩阵与载荷计算(从而得出代数方程), 还有简单的误差估计. 后续的章节则是流程中各步的普遍性理论

(2) Sobolev空间: 有限元分析使用的是方程的弱形式, 因此介绍弱导数以及相应的函数空间

(3) 椭圆型问题的适定性: 我们会讨论什么情况下, 弱形式的解是存在唯一的 (主要会Lax-Milgram定理就行). 此外, 还给出了抽象变分问题Cea引理(为误差估计做铺垫)

(4) 有限元空间的构造: PDE的解空间是无限维的, 为了数值求解, 引入有限元空间, 即原始解空间的一个有限维子空间, 通常是要求在每个单元上为某种多项式. 我们的求解就是要在这个有限元空间上分片插值出近似解. 一维情形的单元就是简单的区间, 二维则有三角形单元, 四边形单元等等.

(5) 协调有限元方法的误差估计: Cea引理告诉我们有限元解的误差可以通过多项式插值误差来估计. 一维情形误差估计中的手法是先在标准区间上, 利用Rolle中值定理来把低阶项用高阶项控制, 之后变换回实际单元上就不难得到结果. 二维情形不能由Sobolev嵌入得到Rolle中值的条件, 徐老师是用等价范数定理证明了常用的结果.

笔记整理

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Ch1 有限元方法概论	Ch2 Sobolev空间	Ch3 椭圆形问题的适定性
Ch4 有限元空间的构造	Ch5 协调有限元空间的误差估计	Ch6 有限元方法在物理中的应用

视频回放

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