有限元方法 (2023 Fall)

课程信息

主要内容

(1) 一维Possion方程的有限元分析: 有限元分析的一整套流程在这里都体现了, 包括弱形式, 有限元空间选取, 基函数计算, 刚度矩阵与载荷计算(从而得出代数方程), 还有简单的误差估计. 后续的章节则是流程中各步的普遍性理论

(2) Sobolev空间: 有限元分析使用的是方程的弱形式, 因此介绍弱导数以及相应的函数空间

(3) 椭圆型问题的适定性: 我们会讨论什么情况下, 弱形式的解是存在唯一的 (主要会Lax-Milgram定理就行). 此外, 还给出了抽象变分问题Cea引理(为误差估计做铺垫)

(4) 有限元空间的构造: PDE的解空间是无限维的, 为了数值求解, 引入有限元空间, 即原始解空间的一个有限维子空间, 通常是要求在每个单元上为某种多项式. 我们的求解就是要在这个有限元空间上分片插值出近似解. 一维情形的单元就是简单的区间, 二维则有三角形单元, 四边形单元等等.

(5) 协调有限元方法的误差估计: Cea引理告诉我们有限元解的误差可以通过多项式插值误差来估计. 一维情形误差估计中的手法是先在标准区间上, 利用Rolle中值定理来把低阶项用高阶项控制, 之后变换回实际单元上就不难得到结果. 二维情形不能由Sobolev嵌入得到Rolle中值的条件, 徐老师是用等价范数定理证明了常用的结果.

笔记整理

Ch1 有限元方法概论 Ch2 Sobolev空间 Ch3 椭圆形问题的适定性
Ch4 有限元空间的构造 Ch5 协调有限元空间的误差估计 Ch6 有限元方法在物理中的应用

视频回放

时间 内容
9.11 有限元课程简介, 变分问题和极小化问题
9.13 一维问题全局基函数以及以基函数作为循环的求解步骤
9.20 一维问题误差估计
9.25 Neumann边值问题讨论; 二维情形编程实现
10.09 二维情形编程细节
10.11 Sobolev空间: 常用记号
10.16 弱导数, Sobolev范数和空间
10.23 变分问题解的存在唯一性
10.25 抽象变分问题解的误差估计, 以及几个例子
10.30 有限元空间的选取与单元基函数
11.1 Hermite一维插值基函数, Lagrange矩形双二次插值基函数
11.6 Hermite矩形双三次元, Lagrange三角形单元二次元
11.8 Lagrange三角形单元三次元, Hermite三角单元插值
11.13 三维多项式插值简介, 等参元简介
11.15 协调有限元空间的多项式逼近理论: 一维插值误差估计
11.20 一维插值误差一般性定理, 二维三角元插值误差估计与等价范数定理
11.22 二维插值误差一般性定理, 有限元空间反估计式
11.27 有限元应用案例: n维椭圆问题, 弹性问题与Locking现象
11.29 有限元应用案例: Stokes流体问题, 非协调有限元简介
12.4 Strang lemma, 非协调有限元的误差估计
12.6 非协调有限元例子: 三角形CR元, 带时间项的问题
12.11 不同时间离散格式的稳定性与误差估计
12.18 半离散格式误差估计结尾, 间断有限元简介
12.20 间断有限元在单元的矩阵格式推导, 稳定性分析
12.25 间断有限元误差估计, 考纲

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